代数多様体とは？ 

　代数多様体とは、大雑把に言うと、有限個の多項式の共通零点集合のことです。高校の教科書に出てくる円、楕円、放物線などは代数多様体です。円は xy 平面上で x² + y² - 1 = 0 と表せます。 x² - y = 0 を満たす点 (x,y) を平面上にかくと、高校の教科書で見慣れた放物線が現れます。これらは２次元の空間内で１次元の代数多様体を考えていることになります。 x³ - y² = 0 を xy 平面上に書くと、原点のところで尖った図が出てきます。これも代数多様体です。平面上の直線 x + y + 1 = 0 も１次元代数多様体の例です。中学で連立一次方程式を学びます。例えば

のようなものです。これは鶴が１羽で亀が５匹の場合の鶴亀算を中学生風に書いたものです。幾何学的には２本の直線の交点を求めることに対応します。点は０次元の代数多様体です。ここで変数の数を増やしてみましょう。幾何学的には高次元の空間を考えることになります。 xyz 空間内で x² + y² + z² - 1 = 0 を考えると球面がでてきます。この例は３次元空間内の２次元の代数多様体です。 xyz 空間内で

のようなものを考えてみましょう。これは球面を平面で切ったものになり、円がでてきます。変数をどんどん増やすともっと高次元の幾何学図形を考えることになります。もちろん絵には描けなくなりますが、頭の中で図形を想像してみてください。連立一次方程式で変数の数を増やしたものは、大学一年生の線形代数学の講義で詳しく扱われます。線形代数学は経済学や機械学習でも日常的に使われており、さまざまな学問の基礎になっています。高次元の代数多様体は上で述べたように素朴な幾何学的対象ですが、残念ながら絵に描いたりすることはできません。そこで我々は抽象的な数学理論を駆使し、代数多様体の形を理解するために研究を続けております。高次元代数多様体論の究極目標の一つは双有理分類という大雑把な分類を完成させることです。

代数幾何学の歴史 

　代数幾何学の歴史は古いです。デカルトの方法序説（17世紀です！）にはじまると言われることもあります。19世紀にはリーマンによるリーマン面の理論、19世紀から20世紀にかけてはイタリア学派による代数曲面論があります。これら古典的な仕事はとても価値のあるものでしたが、直感に頼る部分もあり、現代の視点からは不十分な研究でした。20世紀半ばにはグロタンディークによる代数幾何学の基礎の刷新が実行され、代数幾何学はとても抽象的な理論になってしまいました。その一方で、小平邦彦による複素解析曲面論、1960年代には広中平祐による特異点解消定理、1970年代には飯高茂による飯高プログラム、1980年代には森理論と代数多様体の双有理分類に関する重要な仕事が続きます。21世紀に入ってからの発展も凄まじい状態です。ちなみに、小平、広中、森の３名は数学の最高の賞であるフィールズ賞を受賞しています。代数多様体の研究は日本のお家芸の一つでありました。

代数多様体の双有理分類 

すでに述べましたが、代数多様体論の究極目標の一つは、代数多様体を双有理的に分類することです。代数多様体 X と代数多様体 X' が双有理同値であるとは、X と X' は大体のところで同じものであり、端っこの方だけで異なるという感じです。一般に代数多様体 X が与えられると、X には特異点と呼ばれる潰れた点や重なった点が現れます。前に説明した x³ - y² = 0 の原点は特異点です。広中の特異点解消定理によると、X に有限回爆発と呼ばれる操作を施すと X と双有理同値な代数多様体 X'で特異点のない物を作ることができます。特異点のない代数多様体を非特異代数多様体と呼びます。非特異代数多様体はつるつるすべすべな感じです。非特異な代数多様体 X が与えられると、有限回のフリップと因子収縮と呼ばれる操作の後、森ファイバー空間か極小モデルになると予想されています。この部分は極小モデル理論や森理論と呼ばれ、多くの場合に予想は解決されていますが、まだまだ未解決の部分も多い話です。爆発、フリップ、因子収縮は双有理同値を引き起こすことに注意してください。広中の特異点解消定理は、代数多様体のぐちゃぐちゃに潰れたり重なった部分を爆発することにより、図形を膨らませるイメージです。有限回の爆発のあと、どんな代数多様体もつるつるすべすべの非特異と呼ばれる状態になります。非特異な代数多様体には森理論を適用し、不必要に膨らんだ部分を潰していきます。まだ完全には解決していませんが、有限回の操作の後、不必要な膨らみがなくなった森ファイバー空間か極小モデルに到達すると考えられています。森ファイバー空間と極小モデルは比較的良い性質を持った代数多様体なので、上の予想が解決できれば、代数多様体の双有理分類の研究はこのような良い性質を持った幾何学図形の研究に帰着できるわけです。高次元代数多様体論ではいろいろな研究がなされていますが、森理論や極小モデル理論と呼ばれる理論を完成させることが一つの目標になっています。

数学者の日常 

　だんだんと数学の話が難しくなってきたので、ここでちょっと話をかえます。数学者は一体全体日々どんな感じで研究しているのだろうか？と疑問に思わないでしょうか。１ページ目の写真は私の研究室です。数学教室では准教授以上は個室が与えられております。教授を頂点とした「藤野研究室」というようなグループは存在しません。私は何度か大学を移っていますが、研究室の本棚の本を段ボールにつめて送るだけです。研究室の立ち上げや実験設備の整備などは必要ありません。数学者のオフィスには大抵黒板があります。本棚には大量の書籍が積んであります。もちろん全部読んだわけではありませんが、数学の研究では大量に文献を読む必要があります。パソコンは論文執筆やメールのやり取り、ネットでの情報収集に使いますが、私はそれ以上のことには使いません。私の場合はオフィスで研究が進むことは皆無で、通勤電車の中や歩いているとき、あるいは自宅でごろごろしているときなどにうまいアイデアが浮かぶことが多いです。大学数学科の日常を知るには絹田村子さんの『数字であそぼ』なる漫画がお勧めです。

小平の消滅定理の一般化 

今回の受賞理由である小平消滅定理の一般化について述べたいと思います。小平の消滅定理の一般化は色々と考えられてきましたが、高次元代数多様体論の観点からは、以下の定理が究極形の一つだと思います。

　定理．( X, Δ ) を単純正規交叉対とし、f: X →Y を固有射とする。 Δ の係数は ０ 以上１ 以下とする。 L を X 上のカルティエ因子とし、L - (K_X + Δ) を f-半豊富と仮定する。

　このとき

小平の消滅定理の一般化 

今回の受賞理由である小平消滅定理の一般化について述べたいと思います。小平の消滅定理の一般化は色々と考えられてきましたが、高次元代数多様体論の観点からは、以下の定理が究極形の一つだと思います。

　上の定理を理解するためには、残念ながらとてもたくさんの準備が必要です。この定理を使うことにより、極小モデル理論の適用範囲を究極的に拡張することができます。従来の極小モデル理論は穏やかな特異点しか持たない代数多様体にのみ適用可能でした。上の定理を使うと、ぐちゃぐちゃに潰れた代数多様体も扱うことが可能になります。もう少し専門的に述べると、ホッジ構造的には、従来の枠組みは『純』な理論であり、今回『混合』化に成功したことになります。さらに最近は上の定理を複素解析的な設定にまで拡張することに成功しました。その結果、極小モデル理論の適用範囲を代数多様体の世界から複素解析空間の世界に広げることも可能になっています。ぐちゃぐちゃに潰れた代数多様体を扱えるようになった副産物として、以下の決定的な結果も得ました。

　定理．安定多様体のモジュライ空間は射影的である。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　

安定多様体のモジュライ空間はコンパクトな代数空間であることが知られていましたが、上の定理でモジュライ空間は射影代数多様体であることが示され、安定多様体のモジュライ空間を構成するという長年のプロジェクトは一段落ついたことになります。

最後に

さっぱり分からない話をしてしまったかもしれません。数学に興味のある人は、ぜひ大学の数学科に来てください！